灰筆記事本

轉自-書鴻 黃金分割

黃金分割是一個比例（ratio）。把一條直線分為兩部份，一份較短（設為一米），另一份較長（設為x米），直線的總長即（1＋x）米。短的一份與長的一份比例為 。而長的一份，與直線的總長，比例則為 。如果兩個比例相等，那麼，這條直線就是按黃金比例分割。x的數值，可從下列二次方程式中解得：

   x   ＝ 1  
1+x       x

x² - x- 1＝ 0
             
x ＝ 1+  0.5x5^1/2

x ＝ 1.618 或 -0.618

把線條按1比1.618的比例分割，究竟有什麼特別？要找到答案，我們就要追朔到公元前六世紀古希臘數學家畢達哥拉斯（Pathagoras）。對於畢氏，相信讀者一定不會感到陌生。Pathagoras theorem（畢氏定理），即任何直角三角形的斜邊二次方值，等於另兩邊的二次方和（即 c2 ＝ a2 ＋ b2），是任何中學生都認識的幾何定理。有趣的是，此定理原來在畢氏出生前一千年已廣為人知，並非源出於他。相反，許多人不知道的是，在古希臘年代，他是以始倡黃金分割馳名的。
古埃及人發明幾何，但他們對數字興趣不大。數字對他們來說，主要就是一件用來數算日子，與量度土地的工具。古希臘人秉承古埃及人的智慧，發揚光大，很快就青出於藍，比起他們的啟蒙老師，他們對數字就嚴肅得多，對他們來說，數字不單止是數字，數字還蘊含著豐富的哲學內涵，甚至與哲學有不可分割的關係。
由於古希臘人秉承了古埃及人在幾何學上研究的成果，他們就沉醉於研究數字與形狀的關係。因而就出現了大家熟悉的形狀數字，如方形數字（square numbers ：1，4，9，16等），和三角形數字（triangle numbers ：1，3，6，10等）。（圖5）
畢達哥拉斯是當代著名的思想家、哲學家和數學家，他自然就是這方面研究的佼佼者。相傳，有一天當他把單弦琴弦線在約五分之二長度的地方用承托托著時，兩邊就能彈出極之美妙的和音，他就把這比例命名為「完美的五分」（a perfect fifth）。對沉醉數學的畢氏來說，玩單弦琴並非為奏樂，而是研究數學的一個行為。他想，弦線既然可擁有一個完美的分割點（或作比例），那麼所有線條、形狀、物體、萬事萬物，乃至宇宙，是否都應該有同一個完美的比例。這比例既然能表現音樂的完美，是否也能表現線條、形狀、物體、乃至宇宙萬事萬物的完美呢？
畢氏從事了多方面的研究，其中包括天文、美學、音樂、數學、和自然學，去證明他對這一個完美的比例的信念。他和古希臘的許多數學家，窮畢生精力去研究比例，他們把美妙的比例分為十級，最高級的，亦即最美麗的比例，就是上文所述的黃金分割。
畢氏的偉大，在於他觀察入微。宇宙萬物，所有的動物，包括人類，天上的飛鳥，以至海裏的魚，昆虫等，擁有完美比例者其實俯拾皆是，常人察身而過，稍具藝術觸角者在欣賞之餘，可能會驚歎一聲造物之奇妙，而畢氏憑著他那超人敏銳的觀察力，把宇宙賦與萬物的美，予以歸納，並系統的展現出來，給予許多的藝術家，數學家，建築師，以至工程師等靈感的泉源，創造了無數令人歎為觀止的作品。
除了圖示的例子，還有金字塔的高度與底部邊長成黃金比例；你每天看的報章，無論你把它對摺多少次，它的長闊比都呈現黃金比例；人體結構有更多的黃金比例的例子，如人體（總身高）的黃金分割點就在肚臍。面部（總面長）的黃金分割點在眼眉。眼至下巴的黃金分割點在鼻孔位置。你能從你的週圍，找出更多的黃金比例嗎？
畢氏只是闡述了那直向、上與下的，以及平面的長與闊的「完美」比例。其實，完美的比例又何止十級？一隻小小的甲蟲，花叢中翩翩起舞的蝴蝶，天空中飛翔的兀鷹，完美的人體，以至所有的生物，不都擁有橫向的左右對稱，一比一，更完美的比例嗎？而那些宏偉的古建築，如巴特農神殿（圖10），以至中國的故宮，印度的泰姬陵，或近代巴黎的凱旋門，又是否建築師們從這左右對稱的完美比例得到靈感設計而成？我相信答案是肯定的。只是我們習以為常，不以為意，忽略了那最平凡，但又最完美的比例！